Naše webové stránky obsahují odkazy na partnerské weby. Pokud se prokliknete z našich stránek na stránky partnera a tam si zakoupíte jeho služby, obdržíme za zprostředkování provizi (Zjistit více informací). Tato forma spolupráce nijak neovlivňuje objektivnost našich recenzí. Každým nákupem přes proklik z našich stránek podpoříte naši redakci, abychom i do budoucna mohli tvořit kvalitní a užitečný obsah. Ďekujeme.
Důležité upozornění Všechny naše články píšou skuteční lidé. Nejsou to umělé texty od stroje.
Pojem derivace v kalkulu Definice, vlastnosti a výpočty
Obsah
Počet je odvětví matematiky, které se zabývá studiem změn a pohybu. Je to základní předmět v mnoha oborech, jako je matematika, fyzika, inženýrství a ekonomie. Jedním ze základních pojmů v kalkulu je derivace. Historicky byl tento koncept nezávisle vyvinut Isaacem Newtonem a Gottfriedem Wilhelmem Leibnizem. Měří, jak se funkce mění , když se mění její vstup.
Tento článek se ponoří do definice, vlastností a metod výpočtu derivátů.
Co je derivát v kalkulu?
Derivace představuje rychlost, kterou se funkce mění v libovolném daném bodě. Pokud máme funkci f(x), derivaci v bodě x označíme jako f′(x) nebo dy/dx, kde y=f(x).
Derivaci lze považovat za sklon tečny ke křivce v tomto bodě.
To lze znázornit takto:
f‘ (x) = lim h->0 (f (x + h) – f(x)) / h
Vlastnosti derivátu
Deriváty mají mnoho vlastností, díky kterým jsou užitečné v různých aplikacích. Některé z nich jsou uvedeny níže:
Linearita: Derivace součtu funkce je součtem jejích derivací. Pokud jsou f(x) a g(x) diferencovatelné, pak (f + g)'(x) = f'(x) + g'(x)
Pravidlo součinu: Derivace součinu dvou funkcí je dána vztahem: (fg)′(x)=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)
Kvocientové pravidlo: Derivace kvocientu dvou funkcí je: f(x)/g(x) = (f'(x) × g(x) – f(x) × g'(x)) /g(x ) 2 .
Řetězové pravidlo: Derivace složené funkce je: f(g(x)) = f(g(x)) f'(g(x)) × g'(x).Derivace vyššího řádu: Jedná se o deriváty derivací, které se často používají k analýze zakřivení a konkávnosti funkcí.
Pravidla pro logaritmickou a exponenciální funkci
Pro efektivní výpočet derivátů je důležité znát některé důležité vzorce:
- Derivace přirozeného logaritmu: d/ dx (ln(x)) = 1 / x
- Derivace společného logaritmu: d / dx (log 10 (x)) = 1 / x ln (10)
- Derivace exponenciální funkce: d/ dx(e x )= ex
- Obecná exponenciální funkce: d/ dx (a x ) = (ln(a)) ⋅ a x ; kde a je kladná konstanta.
- Derivace exponenciály s funkční bází: d/ dx (a f(x) ) = (ln(a)) ⋅ af(x) ⋅ f′(x) kde a je kladná konstanta.
Derivace goniometrické funkce
Derivace šesti goniometrických funkcí jsou tyto;
- d / dx (sinx) = cosx
- d / dx (cosx) = -sinx
- d / dx (tanx) = sec2x
- d / dx (cscx) = -cscx
- d / dx (secx) = secxtanx
- d / dx(cotx) = -csc2x
Typy derivátů v kalkulu
Existují dva hlavní typy derivátů:
- Obyčejné deriváty:
- Částečné derivace:
1. Obyčejné deriváty
Jedná se o derivace funkcí pro jednu proměnnou. Obyčejné deriváty jsou nejběžnějším typem derivátů. Používají se v mnoha různých oblastech matematiky, vědy a inženýrství.
2. Částečné derivace
Jedná se o derivace funkcí pro dvě nebo více proměnných. Částečné deriváty jsou méně běžné než běžné deriváty. Jsou důležité v mnoha oblastech, jako je fyzika, ekonomie a finance.
Metody výpočtu derivátu
K nalezení derivátu lze použít mnoho technik:
Pravidla diferenciace
Patří mezi ně základní pravidla a vlastnosti diskutované dříve.
Implicitní diferenciace
Používá se, když funkce není uvedena explicitně, ale ve formě zahrnující obě proměnné.
Numerické metody
Když je funkce příliš složitá pro analytické derivování, numerické metody, jako jsou konečné rozdíly, mohou derivaci aproximovat.
Řešené příklady derivace
Vyřešme několik příkladů a pokusme se pochopit, jak vypočítáme derivaci libovolné funkce. Abyste se vyhnuli ručnímu výpočtu, můžete použít Derivační kalkulačka od Allmath abyste rychle získali odpovědi a ušetřili čas
Příklad 1
Najděte derivaci funkce y= (x+2) (x+1) / x 2 a vyhodnoťte ji jako x = 2.
Řešení:
y = (x2 + 3x + 2) / x2
y = 1+3/x + 2 /x2
y ‘= d / dx [1+3/x + 2 /x2]
y’ = [0 – 3/x2 – 6/x3]
At x = 2:
y’ = – 3 /4 – 6/8
= -15/8
Příklad 2:
Určete rovnici tečny k g(x)=2x2+4x at x=−1.
Řešení:
g (−1) = 2(−1) 2 + 4(−1) =−2−4 =−6
g′(x)=d /dx (2x 2 +4x) = 4x+4
g'(-1) = 4(-1) + 4=0
Rovnice tečny je dána vztahem y−y1=m(x−x1); kde m je sklon a (x 1 ; y 1 ) je bod na přímce.
y+6=0 ⋅ (x+1)
y=-6
Příklad 3:
Najděte derivaci x 2 (x-1)
Řešení:
Krok 1:
Nechť y = x 2 (x-1) = x 3 – x
Rozlišujte wrt x
dy / dx = d [x 3 – x] / dx
Krok 2:
Rozdílové pravidlo
dy / dx = d (x 3 ) / dx – d (x) / dx
Krok 3:
Mocenské pravidlo
dy / dx = 3x 2 – 1tak; derivace x 2 (x-1) je 3x 2 – 1
Závěr
Derivace nabízí mocný nástroj pro pochopení rychlosti změny funkcí. Jeho aplikace pokrývají řadu oborů, od fyziky po ekonomii. Pochopení základní definice, charakteristik a výpočetních technik umožňuje důkladnou analýzu vývoje funkcí. Zatímco základní pravidla a metody poskytují pevný základ, komplexní funkce často vyžadují pokročilejší přístupy, jako je implicitní diferenciace nebo numerické metody.
